Matematika
Matematika përbën një fushë të njohurive abstrakte të ndërtuara me ndihmën e arsyetimeve logjike mbi koncepte të tilla si numrat, figurat, strukturat dhe transformimet.
Matematika
dallohet nga shkencat tjera për një lidhje të veçantë që ka ajo me realitetin.
Ajo është e një natyre të pastër intelektuale, e bazuar tek një seri aksiomash
të deklaruara të vërteta (do të thotë që aksiomat nuk i janë nënshtruar asnjë
eksperience por janë të frymëzuara nga eksperienca) ose mbi disa postulate përkohësisht
të pranuara. Një pohim matematikor – i quajtur përgjithësisht teoremë ose
propozicion konsiderohet i vërtetë nëse procesi i vërtetimit formal që
përcakton vlefshmërinë e saj respekton një strukturë arsyetuese
logjike-deduktive.
Edhe
pse rezultatet matematike janë të vërteta plotësisht formale, ato gjejnë zbatim
në shkencat tjera dhe në fushën e teknikes. Për këtë arsye Eugène Wigner flet
për « efikasitet të paarsyeshëm të matematikes në shkencat e
natyrës ».
Matematika merret me studimin e
raporteve sasiore dhe cilësore të objekteve konkrete dhe abstrakte, si dhe me
studimin e formave hapësinore. Sipas Burbakistëve ajo është shkencë që
studion relacionet dhe në thelbin e saj është kuptimi i numrit. Matematika
është shkencë deduktive d.m.th përfundimet e saj janë të përgjithshme dhe janë
rrjedhim logjik i aksiomave.
Etimologjia
Fjala “matematikë” vjen nga
gjuha e lashtë greke (μάθημα máthema), që do të thotë mësim, studim, shkencë,
përveç kësaj ajo përgjatë kohëve ka marrë një kuptim më të ngushtë dhe më
teknik që do të thotë “studim matematik”
Historia e matematikës
Fillimet e matematikës humben
në thellësitë e shekujve. Matematika u shfaq si rezultat i vështrimeve dhe
përvojës së njerëzve në përballje me problemet dhe nevojat praktike.
Sistematizimi dhe përmbledhja e njohurive matematikore ka filluar relativisht
vonë. Kinezët e lashtë, civilizimi i Inkëve, pastaj në Indi kishte një
zhvillim të konsiderueshëm të matematikës.
Në Greqinë antike matematika
përjetoi një zhvillim të paparë nga një plejadë e tërë matematikanësh siç
janë : Pitagora, Talesi, Platoni,Eudoksi, Euklidi, Arkimedi, etj. Grekët e
vjetër matematikën e kuptonin në sensin e gjeometrisë dhe të parët ishin ata që
të vërtetat matematikore të cilat ato i quanin teorema i vërtetonin.
Njohuritë matematikore të grekëve të vjetër më vonë i përvetësuan dhe i
pasuruan arabët të cilët quhen edhe themelues të algjebrës. Përkthimet arabe të
veprave të matematikanëve grekë në mesjetë depërtuan në Evropë.
Pastaj shtytjen dhe zhvillimin
e matematikës e morën në dorë Evropianët. Në këtë periudhë mund të përmendim
Vietin, Cardanon,Fibonaccin, etj. Më vonë dolën në skenë Rene Descartes,
Paskali, Leibnitzi, Bernoulli,Gaussi, Euleri, etj. Në fund të shekullit XIX
David Hilbert i një matematikan i shkëlqyer gjerman në kongresin ndërkombëtar
të matematikanëve të mbajtur në Paris në vitin 1900 propozoi dhe
i formuloi njëzetetre probleme matematikore të cilat shekulli XIX ia le në
trashëgimi shekullin XX. Shumë prej këtyre problemeve i preokupuan
matematikanët nga gjithë bota një kohë të gjatë dhe shumica e tyre u zgjidhën
pas një pune të palodhshme ku participuan një numër i madh matematikanësh nga
gjithë bota.
Matematika në ditët e sotme
përjeton një zhvillim marramendës dhe është e shpërndarë në shumë degë të
specializuara të cilat janë mjaft abstrakte. Sot është e pamundur të gjendët
një autoritet si Hilberti i cili të ketë një pasqyrë të përgjithshme për të
gjithë degët e matematikës. Poashtu nuk u gjet një matematikan i cili në fund
të shekullit XX të propozonte probleme për shekullin XXI. Kjo është e
kuptueshme sepse matematika si edhe të gjitha shkencat tjera kanë përjetuar një
zhvillim të paparë. Por një analogji e përafërt me Hilbertin Clay Mathematical
Institute, në fund të Stampa:Shek, ofron një çmim prej një milion
Dollar atij i cili jep një zgjidhje të pranueshme njërit prej shtatë
problemeve të shekullit XX. Deri më sot zyrtarisht nuk është ndarë asnjë çmim.
Problemi i vetëm i zgjidhur është hipoteza Poincaré të cilën e zgjodhi Grigori
Perelman por ky i fundit e refuzoi atë. Gjashtë problemet tjera janë të
hapura.
Matematika në interaksion me
shkencat tjera e ndihmon zhvillimin e tyre por në të njëjtën kohë ajo edhe vetë
pasurohet. Sot matematika ka depërtuar edhe në ato degë të shkencës në të cilat
deri para pak kohe as që ishte e imagjinueshme. Matematika në përgjithësi e
mban karakterin e njerëzve të cilët e zhvillojnë atë. Është i gabueshëm mendimi
i njerëzve për të cilët matematika është e pakuptueshme se në matematikë nuk ka
konteste dhe ç’do gjë është e qartë. Ndërmjet matematikanëve ka pikëpamje të
ndryshme për matematikën. Fatmirësisht kjo nuk do të thotë se matematika nuk ka
perspektiva të ndritshme.
Simbolet dhe gjuha matematikore
Shumica e simboleve që përdoren
sot në matematikë nuk ishin zbuluar deri në shekullin XVI. Matematika shkruhej
me fjalë dhe kjo e kufizonte zhvillimin e saj. Në shek XVIII, Euleri futi
në matematikë një numër të madh simbolesh të cilat përdoren edhe sot. Simbolizmi
matematikor sot është shumë i rëndësishëm për profesionistët por fillestarët
nuk mund ta kuptojnë. Ai është shumë i ngjeshur sepse vetëm pak simbole
shprehin një sasi të madhe informacioni. Simbolizmi modern ka një sintaksë të
përcaktuar rreptësisht e cila përshkruan informacione në lidhje me një teori të
caktuar matematikore. Gjuha e matematikës është shumë e
vështirë për jomatematikanët.
Konceptet
matematikore
Konceptet
dhe strukturat themelore matematikore, jo vetëm si njësi të posaçme, por edhe
në ndërlidhje me koncepte dhe struktura tjera matematikore. Asnjëri prej
koncepteve matematikore që shtjellohet nuk na “paraqitet” vet për vete.
Konceptet
dhe strukturat le të shqyrtohen edhe në kontekst të njohurive dhe ambienteve
tjera matematikore dhe jashtëmatematikore si dhe në situata të ndryshme
mësimore.
Estetika dhe frymëzimi në
matematikën e pastër dhe matematikën e aplikuar
Matematika del natyrshëm në
trajtimin e llojeve të ndryshme të problemeve. Së pari këto u gjetën në tregti,
matjen e kohës, në arkitekturë dhe më vonë në astronomi ; në ditët e
sotme, të gjitha shkencat merren me problemet të studiuara nga matematikanët,
dhe shumë probleme lindin vetë në matematikë. Për shembull,
fizikanti Richard Feynman shpiku metodën e integralit të shtegjeve në mekanikën kuantike duke përdorur
një kombinim të arsyetimit matematikor dhe depërtimit fizik të problemit, në
ditët e sotme teoria e fijeve, një teori ende në zhvillim e cila përpiqet për
bashkimin e katër forcave themelore të natyrës, vazhdon të frymëzojë degë të
reja në matematikë.Disa metoda matematike janë të vlefshme vetëm në zonat
përkatëse që i dhanë shkas asaj metode, dhe mund të aplikohen për të zgjidhur
problemet më tej në atë fushë. Por shpesh matematika e frymëzuar nga një fushë
e caktuar del të jetë e dobishme në shumë fusha të tjera, bashkuar me koncepte
të tjera matematikore. Një dallim bëhet shpesh mes matematikës së
pastër (e quajtur thjesh matematikë) dhe matematikës së aplikuar.
Megjithatë tema nga matematika shpesh gjejnë aplikime direkte, p.sh. teoria e
numrave në kriptografi. Fakti që edhe matematika më e “pastër” shpesh
rezulton të ketë aplikime praktike është ajo që Eugene Wigner e
ka quajtur “Efektshmëria e paarsyeshme e Matematikës në shkencat natyrore”.
Si në shumicën e fushave të
studimit, shpërthimi i njohurive në epokën shkencore ka çuar në
specializime : tani ka qindra fusha të specializuara në matematikë.Disa
fusha të matematikës së aplikuar janë bashkuar me disiplina të lidhura jashtë
matematikës, gjë që i ka çuar këto që të bëhen disiplinat më vete, duke
përfshirë degë si Statistika, operacionet kërkimore, dhe shkenca kompjuterike.
Për ata që janë të prirur
matematikisht, shpesh ka një aspekt të caktuar estetik mbi shumë tipare të
matematikës. Shumë matematikanë flasin për hijeshinë e matematikës,
estetikën e shfaqur dhe bukurinë e brendshme të saj.
Thjeshtësia dhe përgjithësimi janë parime tepër të vlerësuara. Bukuria
duket në një provë të thjeshtë dhe elegante, të tilla si prova e
Euklidit që provon se ka një numër pafundësisht të madh numrash të
thjeshtë, dhe në një metodë numerike elegante që përshpejton llogaritje,
të tilla si transformimi i shpejtë i Furierit. G.H.Hardy në Apologjia e
matematikanit shprehu besimin se këto konsiderata estetike janë, në
vetvete, të mjaftueshme për të justifikuar matematikën e pastër. Ai identifikoi
kritere të tilla si rëndësia, papritshmëria, pashmangshmëria, dhe ekonomia e
ideve si faktorët që kontribuojnë në një estetikë matematikore.