Matematika përbën
një fushë të njohurive abstrakte të ndërtuara me ndihmën e arsyetimeve logjike
mbi koncepte të tilla si numrat, figurat, strukturat dhe transformimet.
Matematika dallohet nga shkencat tjera për një lidhje të veçantë që ka ajo me realitetin. Ajo është e një natyre të pastër intelektuale, e bazuar tek një seri aksiomash të deklaruara të vërteta (do të thotë që aksiomat nuk i janë nënshtruar asnjë eksperience por janë të frymëzuara nga eksperienca) ose mbi disa postulate përkohësisht të pranuara. Një pohim matematikor – i quajtur përgjithësisht teoremë ose propozicion konsiderohet i vërtetë nëse procesi i vërtetimit formal që përcakton vlefshmërinë e saj respekton një strukturë arsyetuese logjike-deduktive.
Edhe
pse rezultatet matematike janë të vërteta plotësisht formale, ato gjejnë zbatim
në shkencat tjera dhe në fushën e teknikes. Për këtë arsye Eugène Wigner flet
për « efikasitet të paarsyeshëm të matematikes në shkencat e
natyrës ».
Matematika merret me studimin e raporteve sasiore dhe cilësore të objekteve konkrete dhe abstrakte, si dhe me studimin e formave hapësinore. Sipas Burbakistëve (Nicolas Bourbaki) ajo është shkencë që studion relacionet dhe në thelbin e saj është kuptimi i numrit. Matematika është shkencë deduktive d.m.th përfundimet e saj janë të përgjithshme dhe janë rrjedhim logjik i aksiomav
Matematika merret me studimin e raporteve sasiore dhe cilësore të objekteve konkrete dhe abstrakte, si dhe me studimin e formave hapësinore. Sipas Burbakistëve (Nicolas Bourbaki) ajo është shkencë që studion relacionet dhe në thelbin e saj është kuptimi i numrit. Matematika është shkencë deduktive d.m.th përfundimet e saj janë të përgjithshme dhe janë rrjedhim logjik i aksiomav
Fillimet
e matematikës humben në thellësitë e shekujve. Matematika u shfaq si rezultat i
vështrimeve dhe përvojës së njerëzve në përballje me problemet dhe nevojat
praktike. Sistematizimi dhe përmbledhja e njohurive matematikore ka filluar
relativisht vonë. Kinezët e lashtë, civilizimi i Inkëve, pastaj në Indi kishte
një zhvillim të konsiderueshëm të matematikës.
Në Greqinë antike matematika përjetoi një zhvillim të paparë nga një plejadë e tërë matematikanësh siç janë : Pitagora, Talesi, Platoni, Eudoksi, Euklidi, Arkimedi, etj. Grekët e vjetër matematikën e kuptonin në sensin e gjeometrisë dhe të parët ishin ata që të vërtetat matematikore të cilat ato i quanin teorema i vërtetonin. Njohuritë matematikore të grekëve të vjetër më vonë i përvetësuan dhe i pasuruan arabët të cilët quhen edhe themelues të algjebrës. Përkthimet arabe të veprave të matematikanëve grekë në mesjetë depërtuan në Evropë.
Në Greqinë antike matematika përjetoi një zhvillim të paparë nga një plejadë e tërë matematikanësh siç janë : Pitagora, Talesi, Platoni, Eudoksi, Euklidi, Arkimedi, etj. Grekët e vjetër matematikën e kuptonin në sensin e gjeometrisë dhe të parët ishin ata që të vërtetat matematikore të cilat ato i quanin teorema i vërtetonin. Njohuritë matematikore të grekëve të vjetër më vonë i përvetësuan dhe i pasuruan arabët të cilët quhen edhe themelues të algjebrës. Përkthimet arabe të veprave të matematikanëve grekë në mesjetë depërtuan në Evropë.
Pastaj
shtytjen dhe zhvillimin e matematikës e morën në dorë Evropianët. Në këtë
periudhë mund të përmendim Vietin, Cardanon, Fibonaccin, etj. Më vonë dolën në
skenë Rene Descartes, Pascali, Leibnitzi, Bernoulli, Gaussi, Euleri, etj. Në
fund të shekullit XIX David Hilbert i një matematikan i shkëlqyer gjerman në
kongresin ndërkombëtar të matematikanëve të mbajtur në Paris në vitin 1900
propozoi dhe i formuloi njëzetetre (23) probleme matematikore të cilat shekulli
XIX ia le në trashëgimi shekullit XX. Shumë prej këtyre problemeve i preokupuan
matematikanët nga gjithë bota një kohë të gjatë dhe shumica e tyre u zgjidhën
pas një pune të palodhshme ku participuan një numër i madh matematikanësh nga
gjithë bota.
Matematika
në ditët e sotme përjeton një zhvillim marramendës dhe është e shpërndarë në
shumë degë të specializuara të cilat janë mjaft abstrakte. Sot është e pamundur
të gjendët një autoritet si Hilberti i cili të ketë një pasqyrë të përgjithshme
për të gjithë degët e matematikës. Poashtu nuk u gjet një matematikan i cili në
fund të shekullit XX të propozonte probleme për shekullin XXI. Kjo është e
kuptueshme sepse matematika si edhe të gjitha shkencat tjera kanë përjetuar një
zhvillim të paparë. Por një analogji e përafërt me Hilbertin Clay Mathematical
Institute, në fund të Stampa:Shek-, ofron një çmim prej një milion Dollar atij
i cili jep një zgjidhje të pranueshme njërit prej shtatë problemeve të
shekullit XX. Deri më sot zyrtarisht nuk është ndarë asnjë çmim. Problemi i
vetëm i zgjidhur është hipoteza Poincaré të cilën e zgjodhi Grigori Perelman
por ky i fundit e refuzoi atë. Gjashtë problemet tjera janë të hapura.
Matematika
në interaksion me shkencat tjera e ndihmon zhvillimin e tyre por në të njëjtën
kohë ajo edhe vetë pasurohet. Sot matematika ka depërtuar edhe në ato degë të
shkencës në të cilat deri para pak kohe as që ishte e imagjinueshme. Matematika
në përgjithësi e mban karakterin e njerëzve të cilët e zhvillojnë atë. Është i
gabueshëm mendimi i njerëzve për të cilët matematika është e pakuptueshme se në
matematikë nuk ka konteste dhe ç'do gjë është e qartë. Ndërmjet matematikanëve
ka pikëpamje të ndryshme për matematikën. Fatmirësisht kjo nuk do të thotë se
matematika nuk ka perspektiva të ndritshme.
Konceptet
dhe strukturat themelore matematikore, jo vetëm si njësi të posaçme, por edhe
në ndërlidhje me koncepte dhe struktura tjera matematikore. Asnjëri prej
koncepteve matematikore që shtjellohet nuk na "paraqitet" vet për
vete.
Konceptet
dhe strukturat le të shqyrtohen edhe në kontekst të njohurive dhe ambienteve tjera
matematikore dhe jashtëmatematikore si dhe në situata të ndryshme mësimore
Në
matematikë, Njutoni, së bashku me Gotfried Lajbnicin dhe pavarësisht nga
njëri-tjetri, zbuluan njehsimin diferencial dhe integral. Ai gjithashtu demonstroi
teoremën e binomit, zhvilloi të ashtuquajturën "metodë të Njutonit"
për gjetjen e zerove të një funksioni, dhe kontribuoi në zbërthimin e
funksioneve në seri potenciale të pafundme.
(1564
-1642)
emri
i tij është i lidhur me kontribute të rëndësishme në dinamikë, (Parimi i
plogështisë, ligji i rënies së sendeve të rënda)
Ekuilibri
dinamik u përshkrua për herë të parë nga Galileo Galilei i cili vuri re se disa
supozime te fizikës aristoteliane binin në kundërshtim me vërejtjet
eksperimentale dhe logjike. Galileo e kuptoi se mbledhja e thjeshtë e
shpejtësive kërkon që koncepti i një "këndi reference në prehje
absolute" të mos ekzistojë. Galileo arriti në përfundimin se një lëvizje
me shpejtësi të vazhdueshme ishte plotësisht e barabartë me prehjen. Kjo bie në
kundërshtim me nocionin e Aristotelit të një gjëndjeje "natyrore" të
prehjes drejt së cilës objektet me masë afrohen natyrshëm. Eksperimente të
thjeshta treguan se të kuptuarit e Galileos i ekuivalencës së shpejtësisë
konstante me prehjen ishte i saktë. Për shembull, nëse një marinar lëshon një
gjyle topi nga kreu i një anije që lëviz me një shpejtësi konstante, fizika e
Aristotelit do të parashikojë që gjylja e topit bie poshtë në mënyrë të drejtë,
ndërsa anija vazhdon të lëvizë. Kështu, në një univers Aristotelian, gjylja e
topi bie prapa në lidhje me një anije në lëvizje.
Megjithatë,
kur ky eksperiment kryhet në realitet, gjylja e topit bie gjithmonë para
këmbëve të marinarit, sikur gjylja e topit e di se ajo udhëton me anijen
pavarësisht se ajo është e ndarë nga anija. Meqënëse nuk ka asnjë forcë
horizontale e cila zbatohet mbi gjylen e topit kur ajo bie, konkluzioni i vetëm
mbetet të jetë se gjylja e topit vazhdon të lëvizë me shpejtësi të njëjtë si
anija, përgjatë rënies. Kështu, asnjë forcë nuk është e nevojshme për të
mbajtur gjylen në lëvizje me shpejtësi konstante përpara. Për më tepër, çdo
objekt që udhëton në një shpejtesi konstante duhet të ketë një forcë rezultante
zero. Ky është përcaktimi i ekuilibrit dinamik: kur të gjitha forcat mni një
objekt ekuilibrohen , por ai ende lëviz me një shpejtësi konstante. Një rast i
thjeshtë i ekuilibrit dinamik ndodh në lëvizjen me shpejtesi konstante përgjatë
një sipërfaqeje me fërkim kinetik. Në një situatë të tillë, një forcë është e
aplikuar në drejtimin e lëvizjes, ndërsa forca kinetike e fërkimit i
kundërvihet pikërisht forcës së aplikuar. Kjo rezulton në një forcë rezultante
zero, por meqënëse objekti filloi me një shpejtësi jo-zero , ai vazhdon të
lëvizë me një shpejtësi jo-zero . Aristoteli e keqinterpretoi këtë lëvizje si
të shkaktuar nga forca e aplikuar. Megjithatë, kur fërkimi kinetik merret në
konsideratë është e qartë se nuk ka forcë rezultante që shkakton lëvizje me
shpejtësi të vazhdueshme .
Simbolet
dhe gjuha matematikore
Shumica
e simboleve që përdoren sot në matematikë nuk ishin zbuluar deri në shekullin
XVI. Matematika shkruhej me fjalë dhe kjo e kufizonte zhvillimin e saj. Në shek
XVIII, Euleri futi në matematikë një numër të madh simbolesh të cilat përdoren
edhe sot. Simbolizmi matematikor sot është shumë i rëndësishëm për
profesionistët por fillestarët nuk mund ta kuptojnë. Ai është shumë i ngjeshur
sepse vetëm pak simbole shprehin një sasi të madhe informacioni. Simbolizmi
modern ka një sintaksë të përcaktuar rreptësisht e cila përshkruan informacione
në lidhje me një teori të caktuar matematikore. Gjuha e matematikës është shumë
e vështirë për jomatematikanët
Ndryshimi;
Pa; Subtraktioni. Shiko Bashkësitë
Diferenca
e bashkësive \textstyle {A}, \textstyle {B} quhet bashkësia e elementeue të
bashkësisë \textstyle {A} që nuk janë në bashkësinë \textstyle {B}[2]
Dimensioni
Dimensioni
(nga latinishtja dimetri në kuptimin matë në të gjitha anët). Në jetën e
përditëshme përdoret për të treguar zgjerimin, shtrirjen etj të një madhësie të
pa caktuar konkretisht por që lë të kuptohet. Kur thuhet dimension mund të
nënkuptohen shumë madhësi, b.f. flitet për dimensione të ndërtesës atëherë
vetëvetiu kuptohet se fjala është për përmasat. Në fizikë, përdoret për të
dëftuar një madhësi fizike, për të cilën më parë është caktuar mënyra e
madhësisë themelore. Kështu p.sh, dimensioni i shpejtësisë është "gjatësia
për krohën". Në gjeometri, dimensioni është veti e trupave (figurave)
gjeometrike. Dimensioni 0, këtu ka një pikë dhe shpeshë thirret dimensioni
zero. Dimensionin 1 kanë b.f drejtëzat, gjysmëdrejtëzat, lakorja, si dhe gjitha
elementet tjera që rrjedhin nga pasqyrimi i këthyeshem i tyre. Elementet e
tilla shpeshë thirren edhe elemente një dimensionale. Dimensioni 2, përfshinë
rrafshet, gjysmë rrafshet, sipërfaqet e katërkëndëshve dhe gjitha elementet
tjera gjeometrike që rrjedhin nga pasqyrimi i këthyeshem i tyre. Elemente e
tilla shpesh thirren edhe si elemente dy dimesionale. Dimensionin 3 ka
hapësira, gjysmë hapësira, sfera, trupat polieder si dhe gjitha elementet tjera
gjerometrike që rrjedhin nga pasqyrimi i këthyeshëm i tyre. Elemente e tilla
shpesh thirren edhe si elemente tri dimesionale. Këtu me pasqyrimi i këthyeshëm
mendohet në pasqyrim e till ku nuk vije deri tek deformimi i asnjë vije, d.m.th
pikat e njëpasnjëshme gjithnjë pasqyohen si të tilla, të njëpasnjëshme. Disa
dimensione, me ndihmen e sistemeve konvertuese, si b.f sistemit koordinativ
mund të pasqyrohen figurativisht si dimensione të nivelit më të ultë, ku
dimensionet e pa paraqitura shprehen nëpërmjet metodave të sistemit.
Kur
gjykimi përbërë formohet prej dy gjykimeve çfarëdo me ndihëmen e lidhëzës
„ose" thuhet se ajo lidhëz përcakton veprimin logjik që quhet disjunkston.
Disjunksioni
inkluziv i dy gjykimeve \textstyle { p} , \textstyle { q} quhet gjykimi
\textstyle {p \vee q} (lexo : p ose q ), i cili është i saktë kur është i saktë
së paku njëri nga gjykimet \textstyle { p} , \textstyle { q}.
Disjunksioni
ekskluzi i dy gjykimeve \textstyle {p} , \textstyle {q} quhet gjykimi
\textstyle {p \veebar q} (lexo : ose p ose q) i cili është i saktë kur është i
saktë vetëm njëri nga gjykimet \textstyle { p} , \textstyle { q} .
Diskontoja
Diskontoja
(shpeshë edhe Diskonti, nga italishtja disconto në kuptimin kapari), pagesë e
një pjese K0 të shumës së përgjithëshme të mallit të pa pranuar ende, d.m.th n
- ditë para afatit të mbylljes së këmbimit. Për K0, merren kamat (përqindje) të
thjeshta (pa mbikamata ) për kohën e para pagesës. Vlera e shumës që duhet
paguar K (pare n'dorë) është më e vogël se K0. Dallimi i tyre, d.m.th diferenca
e tyre thirret diskontoja. Gjatë llogaritjes së diskontos, viti rrumbullaksohet
në 360 ditë dhe secili muaj rrumbullaksohet në 30 ditë. Për kamatën vjetore me
përqindje p% rrjedhë kamata e thjeshtë Q për n - ditë. Q= K_0 {{p*n}\over{100 *
360}} dhe K=K_0 - Q.
MATEMATIKA
Matematika
përbën një fushë të njohurive abstrakte të ndërtuara me ndihmen e arsyetimeve
logjike mbi koncepte të tilla si numrat, figurat, strukturat dhe transformimet.
Matematika dallohet nga shkencat tjera për një lidhje të veçantë që ka ajo me
realen. Ajo është e një natyre të pastër intelektuale, e bazuar tek një seri
aksiomash të deklaruara të vërteta (do të thotë që aksiomat nuk i janë
nënshtruar asnjë eksperience por janë të frymëzuara nga eksperienca) ose mbi
disa postulate përkohësisht të pranuara. Një pohim matematikor - i quajtur
përgjithësisht teoremë ose propozicion konsiderohet i vërtetë nëse procesi i
vërtetimit formal që përcakton vlefshmërinë e saj respekton një strukturë
arsyetuese logjike-deduktive.
Fillimet
e matematikës humben në thellësitë e shekujve. Matematika u shfaq si rezultat i
vështrimeve dhe përvojës së njerëzve në përballje me problemet dhe nevojat
praktike. Sistematizimi dhe përmbledhja e njohurive matematikore ka filluar
relativisht vonë. Kinezët e lashtë, civilizimi i Inkëve, pastaj në Indi kishte
një zhvillim të konsiderueshëm të matematikës. Në Greqinë antike matematika
përjetoi një zhvillim të paparë nga një plejadë e tërë matematikanësh siç janë
: Pitagora, Talesi, Platoni, Eudoksi, Euklidi, Arkimedi, etj. Grekët e vjetër
matematikën e kuptonin në sensin e gjeometrisë dhe të parët ishin ata që të
vërtetat matematikore të cilat ato i quanin teorema i vërtetonin. Njohuritë matematikore
të grekëve të vjetër më vonë i përvetësuan dhe i pasuruan arabët të cilët quhen
edhe themelues të algjebrës. Përkthimet arabe të veprave të matematikanëve
grekë në mesjetë depërtuan në Evropë.
astaj
shtytjen dhe zhvillimin e matematikës e morën në dorë Evropianët. Në këtë
periudhë mund të përmendim Vietin, Cardanon, Fibonaccin, etj. Më vonë dolën në
skenë Rene Descartes, Pascali, Leibnitzi, Bernoulli, Gaussi, Euleri, etj. Në
fund të shekullit XIX David Hilberti një matematikan i shkëlqyer gjerman në
kongresin ndërkombëtar të matematikanëve të mbajtur në Paris në vitin 1900
propozoi dhe i formuloi njëzetetre (23) probleme matematikore të cilat shekulli
XIX ia le në trashëgimi shekullit XX. Shumë prej këtyre problemeve i preokupuan
matematikanët nga gjithë bota një kohë të gjatë dhe shumica e tyre u zgjidhën
pas një pune të palodhshme ku participuan një numër i madh matematikanësh nga
gjithë bota. Matematika në ditët e sotme përjeton një zhvillim marramendës dhe
është e shpërndarë në shumë degë të specializuara të cilat janë mjaft
abstrakte. Sot është e pamundur të gjendët një autoritet si Hilberti i cili të
ketë një pasqyrë të përgjithshme për të gjithë degët e matematikës. Poashtu nuk
u gjet një matematikan i cili në fund të shekullit XX të propozonte probleme
për shekullin XXI. Kjo është e kuptueshme sepse matematika si edhe të gjitha
shkencat tjera kanë përjetuar një zhvillim të paparë. Por një analogji e
përafërt me Hilbertin Clay Mathematical Institute, në fund të Stampa:Shek-,
ofron një çmim prej një milion Dollar atij i cili jep një zgjidhje të
pranueshme njërit prej shtatë problemeve të shekullit XX. Deri më sot
zyrtarisht nuk është ndarë asnjë çmim. Problemi i vetëm i zgjidhur është
hipoteza Poincaré të cilën e zgjodhi Grigori Perelman por ky i fundit e refuzoi
atë. Gjashtë problemet tjera janë të hapura.
Matematika
në interaksion me shkencat tjera e ndihmon zhvillimin e tyre por në të njëjtën
kohë ajo edhe vetë pasurohet. Sot matematika ka depërtuar edhe në ato degë të
shkencës në të cilat deri para pak kohe as që ishte e imagjinueshme. Matematika
në përgjithësi e mban karakterin e njerëzve të cilët e zhvillojnë atë. Është i
gabueshëm mendimi i njerëzve për të cilët matematika është e pakuptueshme se në
matematikë nuk ka konteste dhe ç'do gjë është e qartë. Ndërmjet matematikanëve
ka pikëpamje të ndryshme për matematikën. Fatmirësisht kjo nuk do të thotë se
matematika nuk ka perspektiva të ndritshme. Shumica e simboleve që përdoren sot
në matematikë nuk ishin zbuluar deri në shekullin XVI. Matematika shkruhej me
fjalë dhe kjo e kufizonte zhvillimin e saj. Në shek XVIII, Euleri futi në
matematikë një numër të madh simbolesh të cilat përdoren edhe sot. Simbolizmi
matematikor sot është shumë i rëndësishëm për profesionistët por fillestarët
nuk mund ta kuptojnë. Ai është shumë i ngjeshur sepse vetëm pak simbole
shprehin një sasi të madhe informacioni. Simbolizmi modern ka një sintaksë të
përcaktuar rreptësisht e cila përshkruan informacione në lidhje me një teori të
caktuar matematikore. Gjuha e matematikës është shumë e vështirë për
jomatematikanët.