1.OBJEKTI I METODIKËS SË MATEMATIKËS
1.1.Objekti i metodikës së matematikës
Metodika e matematikës është një lëndë që bën pjesë në grupin e
lëndëve pedagogjike. Pedagogjia përpunon ligjet e përgjithshme të mësimit
dhe të edukimit, ndërsa metodikat merren me çështje
të veçanta të këtij
procesi. Metodika e të mësuarit të matematikës ka për objekt studimin,
përpunimin, përsosjen metodave dhe të formave të ndryshme të të mësuarit të
matematikës në shkollë, si dhe problemet e shumta organizative që paraqiten në
zbatimin e këtyre metodave dhe formave në praktikë.
Kryesisht merret me procesin e të mësuarit të matematikës duke
filluar nga parashkollorët dhe deri në shkollën e lartë, duke perfshire ketu
edhe studimin e matematikës në mënyrë të pavarur. (Por ne këtë cikel leksionesh
ne do të ndalemi kryesisht në procesin e të mësuarit të matematikës në 4 klasat
e para të shkollës 9-vjeçare)
Procesi i të mësuarit kalon ne katër etapa kryesore:
a)Qëllimi i të mësuarit. I cilia i përgjigjet pyetjes” Përse ne
mësojmë matematikën?
b)Objekti i të mësuarit. E cila merret me ate se cfare materiali
do tu jepet nxënësve ne klasa të ndryshme dhe në si ky materiali do të qetë i
kuptueshëm nga nxënësit
c)Përmbajtja e të mësuarit. Se cilat janë metodat më efikase për
të përvetësuar matematikën më lëhtë, më thellë dhe më shpejt?
d)Metodat e të mësuarit. Ka te beje me ate si të organizohet
puna e nxënësve për studimin e pavarur të matematikës
Për lëndë të veçanta këto elementë kanë veçoritë e tyre.
Këto 4 etapa matematikës i zgjidh duke u bazuar kryesisht në
përvojën e shkolles sonë dhe në atë të shkollave në vende të tjera. Po keshtu
edhe gjate praktikes se perditshme shkollore percaktohen edhe metodat me
efikase te mesuarit te matematikes dhe forma e kontrollit te njohurive.
1.2.Format e kërkimeve shkencore në fushën e metodikës
Në metodikën e matematikës ashtu si edhe në metodikat e tjera,
është e domosdoshme të bëhen vazhdimisht studime e kërkime shkencore për
çështje aktuale.
Dy janë format kryesore të kërkimeve shkencore ne fushën e
metodikës:
1.Vëzhgimet në procesin mësimor
2.Eksperimenti metodik
Persa i perket vezhgimeve ne procesin mesimore këto vëzhgime kryhen
nga mësuesit dhe kolektivat
pedagogjikë.
Natyrshëm lind pyetja: Çfarë mund të vëzhgohet? Çdo mësues
vëzhgon punën e tij, efikasitetin e metodave që përdor, përvetësimin e
njohurive nga nxënësit, kryerjen e detyrave të shtëpisë, punën e pavarur të
nxënësve etj.
Vëzhgimet e organizuara nga kolektiva mësuesish ose shkollash
kanë si objekt kryesor përvojën e mësuesve të përparuar te shkolles. Në tërë
sistemin e punës së tyre mësimore – edukative. Për këtë shikohen orë mësimi,
zhvillohen mësime të hapura, u bëhen testime nxënësve, kontrollohen detyrat e
shtëpisë, analizohen gabimet etj.
Në çdo lloj vëzhgimi mbahen shënime nxirren përfundime dhe
pastaj behen pergjithesime te bazuara shkencerisht.
Në ngjashmëri me këtë veprohet edhe me eksperimentin pedagogjik.
Në përgjithësi eksperimentohen programe të reja, tekste e mjete
të reja konkretizimi, metoda të reja etj. Sipas qëllimit dhe përmbajtjes, eksperimenti
mund të zgjasë disa javë, disa muaj ose disa vjet.
Përveç këtyre dy formave, një burim i rëndësishëm për metodikën
e matematikës është historia e zhvillimit te matematikës si shkencë. Aty
pasqyrohet rruga e zhvillimit të koncepteve matematike, të metodave dhe gjuhës
së saj. Shpesh (por jo gjithmonë) është e dobishme që edhe në mësimdhënie të
ndiqet rruga historike e zhvillimit të këtyre koncepteve apo metodave.
Një burim tjetër për metodikën e matematikës është historia e
zhvillimit të arsimit matematik. Aty duket evolucioni që kanë pësuar përmbajtja
dhe metodat e mësimdhënies së lëndës së matematikës nën ndikimin e zhvillimit
të shkencës së matematikës dhe shkencave të tjera. Aty vëmë re gjithashtu
vështirësitë që dalin për të futur të renë në mësimdhënie. P. Sh. Teoria e
limiteve u fut në shkollë rreth 100 vjet pasi qe përpunuar dhe kishte zënë vend
në shkollë gjuha simbolike e algjebrës.
Një situatë e ngjashme vihet re sot me simbolikën logjike të
matematikës moderne.
Nga këto të dhëna historike nxirren konkluzione praktike lidhur
me problemet e sotme të metodikës së matematikës.
1.3.Lidhja e metodikës së matematikës me shkencat e tjera
Metodika e matematikës ka lidhje me vetë matematikën,
pedagogjinë, didaktikën, psikologjinë dhe logjikën.
Metodika e matematikës përbën një fushë “kufitare” që shtrihet
në “kufijtë” e matematikës, pedagogjisë, didaktikës, logjikës dhe psikologjisë.
Ajo i bashkon këto shkenca dhe vepron mbi to për të zgjidhur problemet e vetë.
Lidhja e metodikës së matematikës me shkencën e matematikës
Zgjidhja e problemeve të përmbajtjes dhe të metodave të të
mësuarit të matematikës mbështeten kryesisht në vetë shkencën e matematikës .
Shkolla duhet t’i pajisë nxënësit me bazat elementare të shkencës së
matematikës, prandaj zgjedhja e materialit që do t’u jepet nxënësve duhet të
bëhet pas një analize të thellë të koncepteve, ideve dhe metodave të vetë
matematikës si shkencë, duke marrë në konsideratë edhe vendin e rolin që luan
matematika në sistemin e shkencave të tjera dhe në teknikë. Ky material i
zgjedhur përpunohet nga ana didaktike që të jetë i përvetësueshëm nga nxënësit
duke plotësuar kërkesat pedagogjiko-psikologjike.
Por shkenca e matematikes pasurohet dhe zhvillohet vazhdimisht
në përmbajtje e në metodat e saj. Prandaj këto ndryshime duhen ndjekur hap pas
hapi dhe të gjejmë rrugët për t’i pasqyruar në procesin mësimor. P. Sh. Në
shekullin XVIII numri natyror në matematikë kuptohej si një grumbull njësish.
Nën ndikimin e këtij kuptimi në mësimet e para të aritmetikës u kushtohej një
vëmendje e madhe ushtrimeve për formimin e çdo numri të dhjetëshes së
parë.
Matematika moderne e jep konceptin e numrit natyror duke u
bazuar në teorinë e bashkësive. Vendosja e korrespondencës reciprokisht univoke
midis elementëve të bashkësive të fundme na jep mundësinë të dallojmë
bashkësitë e fundme joboshe ekuivalente midis tyre dhe karakteristikën e
përbashkët të këtyre bashkësive, numrin natyror. Ky interpretim i numrit
natyror jepet sot në matematikën e ciklit të ulët të shkollës 8-vjeçare krahas
interpretimeve të tjera të tij.
Në këtë mënyrë vihet re që zhvillimi dhe pasurimi i shkencës së
matematikës ndikon edhe në zhvillimin dhe pasurimin e matematikës si lëndë
mësimore. Ky ndikim nuk shfaqet vetëm në shtimin e vëllimit të njohurive, por
edhe në mënyrën e paraqitjes së tyre.
Lidhja e metodikës së matematikës me pedagogjinë
Në fakt metodika e matematikës ka qenë pjesë e pedagogjisë. Ajo
fillimisht u shkëput prej saj aty nga fillimi i shekullit XX, kur Pestolaci,
pedagog i dëgjuar zviceran, shkroi librin “Të mësuarit konkret të numrave”.
Megjithatë metodika e matematikës mbetet e lidhur ngushtësisht
me pedagogjinë e në veçanti me një pjesë të saj, me didaktikën. Në didaktikë
shqyrtohen parimet e përgjithshme të të mësuarit në shkollë. Si rrjedhojë
didaktika është një ndër burimet e metodikës së matematikës. Ky burim shërben
jo vetëm për problemet ve procesit mësimor të matematikës, por edhe për metodat
kërkimore të problemeve të metodikës së matematikës.
Nga ana e saj, metodika e matematikës, duke u marrë me çështje
konkrete të procesit mësimor, e pasuron didaktikën me realizimet e saj.
Tërheqim vëmendjen që metodat e mësimit të matematikës nuk janë vetëm
konkretizimi apo thellimi i metodave të përgjithshme të përpunuara në didaktikë.
Ajo ka edhe metoda specifike të saj, që janë një pasqyrim i metodave të vet
matematikës si shkencë në procesin e mësimor.
Lidhja e metodikës së matematikës me logjikën
78
Dihet se logjika studion format e arsyetimit të drejtë. Ajo jep
rregullat nëpërmjet të cilave në bazë të disa kushteve nxirren përfundime të
caktuara të çdo shkence. Çdo shkencë bën konkluzione të përcaktuara që u
takojnë objekteve të saj të studimit dhe si rrjedhojë shfrytëzohen forma të
ndryshme arsyetimi. Kjo tezë ka vend edhe për metodikën e matematikës. Ndonëse
në të përdoren gjerësisht të dhënat eksperimentale, jo të gjitha pohimet e saj
nxirren në rrugë eksperimentale. Shumë pohime të metodikës së matematikës
nxirren logjikisht nga pohime të tjera të nxjerra më parë në rrugë
logjike ose eksperimentale.
Lidhja
e metodikës së matematikës me psikologjinë
Metodika e matematikës mbështetet edhe në të dhënat e
psikologjisë. Kështu, duke u bazuar në të dhënat e përshpejtimit fizik e psikik
të fëmijëve të sotëm, programi i matematikës në ciklin e ulët u ndryshua, duke
u pasuruar me koncepte e metoda të reja, si koncepti i bashkësisë, i
relacionit, i simetrisë etj.
1.4.Njohuri të shkurtra mbi historikun e zhvillimit të
matematikës
Gjithë historia e zhvillimit të matematikës mund të ndahet në
katër periudha. Çdo periudhë fillon me zbulime të shquara shkencore që kanë
përcaktuar kalimin e matematikës në një gjendje të re cilësore.
Periudha
e parë quhet ndryshe periudha e lindjes së matematikës. Ajo fillon nga
kohërat më të lashta dhe mbaron në shekujt VI – V p. E. R. Zbulimi më i madh i
kësaj periudhe është zbulimi natyror.
Periudha e parë e zhvillimit të matematikës, që zë një varg të
gjatë shekujsh, që nga hapat e parë të njeriut në rrugën e abstraksionit
matematik, karakterizohet në vija të përgjithshme nga këto fakte; në këtë
periudhë u fut koncepti i numrit racional; u mësua të emërtohej dhe të shkruhej
çdo numër sado i madh; u përvetësuan veprimet aritmetike ; u caktuan vetitë dhe
mënyrat e matjes së disa madhësive si gjatësia, këndi, syprina, vëllimi, duke u
kuptuar rezistenca e numrit irracional; u zbuluan vetitë e figurave dhe të
trupave gjeometrikë të thjeshtë, si të shumëfaqëshave, të rrethit, të
poliedrave, të cilindrit, të konit dhe të disa kurbave. Gjatë kësaj periudhë
matematika kënaqi nevojat më të para që iu paraqitën njeriut në jetën ekonomike
të tij, si p.sh numërimi i sendeve të ndryshme, ndarja e tokave, matja e
syprinave të tokave, njehsimi i vëllimeve, krahasimi i gjatësi të rrugëve etj.
Kërkesa më të mëdha ndaj matematikës në hapat e parë të
zhvillimit pati astronomia, dhe kjo shpuri në themelimin e trigonometrisë dhe,
në radhë të parë, të trigonometrisë sferike.
Periudha
e dytë quhet ndryshme periudha e matematikës elementare. Si
fillim i së cilës shërbeu ndërtimi i matematikës si shkencë deduktive nga
Euklidi në librin e tij të famshëm “Fillimet” ose “Bazat”. Derti në shekujt VI – V p. e.
R. Matematika nuk formonte ndonjë shkencë më vete dhe faktet matematike nxirren
kryesisht në bazë të vrojtimit dhe eksperiencës. Rreth shekullit VI p.
e. r. matematika filli të zhvillohej shumë në Greqi në një drejtim të ri.
Matematikanët grekë sistemuan njohuritë e mëparshme në një teori të vërtetë
matematike dhe e bënë matematikën një shkencë deduktive. Pjesa më e madhe e
punimeve dhe rezultateve të arritura nga matematikanët grekë nuk e kanë humbur
vlerën e tyre edhe në kohën e sotme.
Por matematika greke ka pasur edhe disa të meta që kanë frenuar
në një farë mase përparimin e mëtejshëm të saj. Një nga këto të meta ka qenë
shkëputja e teorisë nga praktika. Një e metë tjetër është fakti që në
matematikën greke ka zotëruar filozofia idealiste e Platonit, e cila pati futur
në matematikën greke një tog kufizimesh, disa nga të cilat e kanë ruajtur
influencën e tyre negative deri në ditët e sotme, si p.sh kufizimi
artificial i ndërtimeve gjeometrike vetëm me vizore e kompas. Njëkohësisht me
matematikën greke dhe pavarësisht nga ajo u zhvillua matematike indiane.
Indianët nuk e shkëputnin teorinë nga praktika, logjikën nga eksperienca, siç
bënin shkencëtarët grekë. Megjithëse matematika indiane nuk arriti nivelin e
matematikës greke, ajo ka dhënë shumë njohuri të vlefshme që kanë hyrë në
mënyrë të qëndrueshme në shkencën botërore dhe që janë ruajtur deri n ditët e
sotme. Kështu p.sh matematikës indiane i përket sistemi dhjetor i numërimit
bashkë me teknikën e veprimeve aritmetike të bazuara në të, përpunimi i
rregullave më numrat negativë e rrënjët, rregullat e zgjidhjes së ekuacioneve
të gradës së parë e të dytë etj.
Trashëgimtarë të kulturës greke dhe indiane janë popujt e
bashkuar në shekullin VII të epokës së re nga Kalifati arab. Ata kanë ruajtur
dhe plotësuar matematikën greke dhe indiane gjatë shekujve të mesjetës
kur shkenca evropiane pësoi një periudhë të gjatë dekadence. Duke
filluar nga shekulli VII u përkthyen në gjuhën arabe veprat e matematikanëve
indianë dhe grekë dhe më vonë evropianët u njohën me këto vepra në
përgjithësi vetëm me anën e përkthimeve arabe.
Ndër punimet origjinale më të rëndësishme të kësaj kohe meriton
të përmenden veprat e matematikanit të dëgjuar të shekullit IX Muhamed
Hovarezmi. Nga vepra e tij me titull “Alxhebër all mukaballa” u fut për
herë të parë në shkencë fjala “algjebër” për të treguar veprimin e
transportimit të një kufize nga njëra anë në anën tjetër të ekuacionit.
Evropianët përvetësuar matematikën greke dhe indiane nga
shekulli XV. Krahas përkthimit të veprave matematike greke në gjuhën
latine, e cila ishte gjuha ndërkombëtare e shkencës në Evropë, u botuan edhe
disa vepra matematike origjinale kryesisht me karakter tekstesh mësimore.
Në shekullin XVI u bënë disa zbulime matematike të rëndësishme:
u gjet zgjidhja me rrënjë e ekuacioneve të fuqisë së tretë dhe të katërt,
u caktuan metodat e llogaritjes së përafërt të rrënjëve reale të ekuacioneve me
fuqi të çfarëdoshme me koeficientë numerikë, u bënë hapat e parë për futjen e
numrave kompleksë, u arritën suksese të mëdha në çështjen e krijimit të
simbolikës algjebrike (Vieta Dekarti) etj.
Periudha
e tretë. Periudha e matematikës së lartë klasike, e cila zë fill në
shekullin XVII me krijimin e njehsimit diferencial dhe integral prej Njutonit,
Lajbnicit, Dekartit dhe zgjatet deri në gjysmën e parë të shekullit XIX.
Në këtë periudhë matematika zhvillohet si shkencë e ndryshimit të
madhësisë dhe e transformimit të figurave gjeometrike. Zhvillimi i matematikës
elementare ka vazhduar edhe pas shekullit XVI. Përmendim p.sh. futjen në
përdorim të thyesave dhjetorë, shpikjen e logaritmeve, sistemimin deri në kohën
e sotme të algjebrës dhe trigonometrisë shkollore dhe punën e madhe të
bërë për sistemimin e gjeometrisë së Euklidit.
Zhvillimin e matematikës në këtë periudhë e kanë përcaktuar dy
ide themelore: lëvizja dhe ndryshimi. Kthesë rrënjësore në matematikën e kësaj
periudhe ka qenë madhësia e ndryshueshme e Dekartit. Objekti kryesor i
studimeve u bë varësia midis madhësive të ndryshueshme. Shkenca kaloi nga
shqyrtimi i numrave në shqyrtimin e funksioneve. Shqyrtimi i madhësive të
ndryshueshme dhe i varësive funksionale çoi në zhvillimin e koncepteve
themelore të analizës matematike, si të infinitiv, të limitit, të derivatit, të
diferencialit dhe të integralit. Edhe fusha e studimeve të gjeometrisë
zgjerohet në mënyrë esenciale me futjen në gjeometri të idesë së lëvizjes dhe
transformimit të figurave gjeometrike.
Shekujt XVII dhe XVIII, që janë periudha e fitoreve të mëdha të
shkencës matematike në këtë drejtim të ri, janë të lidhur me emrat e Dekartit,
Fermait, Njutonit, Eilerit, Lagranzhit, Laplasit etj.
Periudha
e katërt është periudha e matematikës së raporteve të ndryshueshme
ose matematika moderne, e cila fillon në gjysmën e parë të shekullit XIX
me krijimin e gjeometrisë joeuklidiane nga Llobaçevski, Boliai dhe vazhdon edhe
në ditët tona. Në periudhën e katërt matematika u bë shkenca e raporteve
sasiore më të përgjithshme (për të cilët numrat dhe madhësitë janë raste të
veçanta) dhe e formave më të përgjithshme të hapësirës, për të cilat figurat me
një, dy dhe tre dimensione janë raste të veçanta.
Në këtë periudhë zhvillim të madh morët të gjitha disiplinat
kryesore matematike, si gjeometria, algjebra, analiza matematike etj. Zhvillimi
i matematikës çoi në shfaqjen e disiplinave të tjera të reja matematike
(analiza funksionale, teoria e probabilitetit etj), që kanë problemet e tyre
specifike, metodat dhe gjuhën e tyre. Njëkohësisht me procesin e diferencimit
ndodh dhe procesi i anasjelltë i bashkimit, procesi i depërtimit reciprok
të metodave dhe të ideve të degëve të ndryshme të matematikës. Ai mori
një zhvillim të madh në fund të shekullit XIX dhe në fillim të shekullit XX,
kur ishin përpunuar bazat e përgjithshme logjike të m,atematikes moderne. Idetë
teorike bashkësiore u bënë bashkuesit.
Fusha të ndryshme të matematikës, që më parë dukesh se s’kishin
asgjë të përbashkët, u bë e mundur të ndërtohen mbi bazën e ideve të
përgjithshme bashkuese.
Disa
karakteristika themelore të matematikës të periudhës së katërt.
1.Zgjerimi thelbësor i fushës së aplikimeve të matematikës. Kjo
u bë e mundur në sajë të krijimit të degëve të reja të matematikës dhe
zhvillimit të makinave llogaritëse elektronike.
2.Krijimi i koncepteve dhe metodave më të reja përgjithësuese. Kjo
veçori siguron ruajtjen e unitetit të matematikës pavarësisht nga rritja dhe
degëzimet e shumëllojta të saj.
3.Ngritja e matematikës në një shkallë më të lartë abstraksioni,
me aftësi zbatuese më të plotë.
4.Forcimi i vazhdueshëm i rigorozitetit. Deduksioni logjik bëhet
mënyrë kryesore e arsyetimit për nxjerrjen e pohimeve të ndryshme matematike.
Arsyetimet me induksion
dhe në mënyrë intuitive zënë një vend të rëndësishëm në veprimtarinë krijuese
për zbulimin e thelbit të objekteve matematike dhe të lidhjeve midis tyre.
1.5. Matematika si shkencë dhe si lëndë mësimore
Njerëzimi, që në kohët më të lashta, duke u përpjekur për
zgjidhjen e problemeve të jetës praktike ka grumbulluar një vëllim të madh
njohurish matematike. Matematika si shkencë ka si objekt të saj format e
hapësirës dhe marrëdhëniet sasiore të botës reale.
Matematike si lëndë mësimore duhet të plotësojë disa kushte:
Së pari. Të pajisë nxënësit me ato baza
elementare të shkencës së matematikës që janë të domosdoshme si për jetën
praktike, ashtu dhe për të vazhduar shkollat e larta.
Së dyti. Matematike shkollore duhet të përshkohet
nga po ato ide, nga po ajo frymë e po nga ato metoda që përshkohet shkenca e
matematikës.
Së treti. Në matematikën shkollore duhet të
pasqyrohen ndryshimet që ndodhin në shkencën e matematikës.
Së katërti. Në matematikën shkollore
materiali duhet t’i përshtatet moshës së nxënësve, të jetë sa më i kuptueshëm,
i përvetësueshëm nga nxënësit dhe të mjaftojë koha për ta trajtuar. Për t’u
realizuar kjo kërkesë, shpesh konceptet nuk jepen tamam si në shkencë, por
bëhen ndryshime që më vonë trajtohen lehtë.